Question

在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=

3

，側棱PA與底面ABC所成的角為60°，則該三棱錐外接球的體積為（　　）

• A．2π
• B．

  π

  3

• C．4π
• D．

  4π

  3

Answer 1

分析：過點P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得∠PAH=60°．由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，連接OA，可得△POA是底角等于30°的等腰三角形，從而得到外接球的半徑R=OA=1，再用球的體積公式可得該三棱錐外接球的體積．

解答：解：過點P作PH⊥平面ABC于H，則
∵AH是PA在平面ABC內的射影
∴∠PAH是直線PA與底面ABC所成的角，得∠PAH=60°，
∴Rt△PAH中，AH=PAcos60°=

3

2

，PH=PAsin60°=

3

2

設三棱錐外接球的球心為O，
∵PA=PB=PC，∴P在平面ABC內的射影H是△ABC的外心
由此可得，外接球心O必定在PH上，連接OA、OB、OC
∵△POA中，OP=OA，
∴∠OAP=∠OPA=30°，可得PA=

3

OA=

3

∴三棱錐外接球的半徑R=OA=1
因此該三棱錐外接球的體積為V=

4

3

πR³=

4π

3

故選：D

點評：本題給出三棱錐的三條側棱兩兩相等，在已知一條側棱與底面所成角的情況下求外接球的體積，著重考查了直線與平面所成角的定義、球內接多面體和球體積的求法等知識，屬于中檔題．