Question

已知cos(α+β)=

4

5

，cos(α-β)=-

4

5

，

3π

2

＜α+β＜2π，，

π

2

＜α-β＜π求cos2α，cos2β的值．

Answer 1

分析：利用同角三角函數的基本關系，求出sin（α+β）=-

3

5

，sin（α-β）=

3

5

，由cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]，cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]，利用兩角和差的余弦公式求得結果．

解答：解：∵cos(α+β)=

4

5

，cos(α-β)=-

4

5

，

3π

2

＜α+β＜2π，
∴sin（α+β）=-

3

5

，sin（α-β）=

3

5

，
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=

4

5

×

-4

5

-

-3

5

×

3

5

=-

7

25

．
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=

4

5

×

-4

5

+

-3

5

×

3

5

=-1．

點評：本題考查兩角和差的余弦公式的應用，同角三角函數的基本關系，求出sin（α+β）=-

3

5

，sin（α-β）=

3

5

，是解題的關鍵．