Question

設S_n是公差不為0的等差數列{a_n}的前n項和，且S₁，S₂，S₄成等比數列．
（1）求

a5

a7

的值；
（2）若a₅=3，求a_n及S_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）要求

a5

a7

的值，可根據已知條件，求出公差d與首項a₁的關系，將a₅，a₇都用公差d表示，約分即得答案．
（2）要求a_n及S_n的表達式，關鍵根據已知條件是列出公差d與首項a₁的方程，解方程求出數列的基本項公差d與首項a₁的值，然后根據定義即可求解．

解答：解：（1）設S_n的公差為d，
∵S₁，S₂，S₄成等比，
∴，S₂²=S₁S₄
即（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），化簡得d²=2a₁d，
又d≠0，
∴d=2a₁
0≤x≤3
∴

a5

a7

=

a1+4d

a1+6d

=

9d

13d

=

9

13

（2）∵a₅=a₁+4d=9a₁=3，
∴a1=

1

3

，d=

2

3

an=a1+(n-1)d=

2n-1

3

，
Sn=

a1+an

2

n=

n2

3

點評：本題考查了等差與等比數列的基本概念和公式的應用，難度不大．牢固掌握教材所學過中的基本概念和公式就可以順利解題啦．要求數列兩項的比值，可根據已知條件，求出公差d與首項a₁的關系，將兩項都用公差d表示，約分即得答案．（如本題第（1）步）．要求a_n及S_n的表達式，關鍵根據已知條件是列出公差d與首項a₁的方程，解方程求出數列的基本項公差d與首項a₁的值，然后根據定義即可求解．方程思想是解決數列問題的基本思想，通過公差列方程（組）來求解基本量是數列中最基本的方法，同時在解題中也要注意數列性質的應用．