Question

已知函數f（x）=log_ax，g（x）=x，h（x）=a^x．
（1）若a=2，設m（x）=h（x）-g（x），n（x）=g（x）-f（x），當x＞1時，試比較m（x）與n（x）的大小（只需要寫出結果，不必證明）；
（2）若a=

1

2

，設P是函數g（x）圖象在第一象限上的一個動點，過點P作平行于x軸的直線
與函數h（x）和f（x）的圖象分別交于A、B兩點，過點P作平行于y軸的直線與函數h（x）和f（x）的圖象分別交于C、D兩點，求證：|AB|=|CD|．

Answer 1

（1）大小關系：m（x）＞n（x）
（2）由點P在直線g（x）=x上，設P（t，t），（t＞0）
由t=(

1

2

)x，得x=-log₂t，∴A（-log₂t，t），
由t=log

1

2

x，得x=(

1

2

)t，B((

1

2

)t，t)．∴|AB|=|(

1

2

)t+log2t|．…（5分）
∵C(t，(

1

2

)t)，D（t，-log₂t），∴|CD|=|(

1

2

)t+log2t|．
∴|AB|=|CD|．…（7分）