Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=，S_n=n²a_n-n(n-1),n∈N^*

(Ⅰ)求證：數列{·S_n}是等差數列；

(Ⅱ)設函數f′_n(x)是f_n(x)=·xⁿ⁺¹的導函數，且b_n=f′_n(p)，p＞0，p≠1，若T_n=，試問的極限是否存在?若存在，求出其極限值；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：(Ⅰ)當n≥2時,

 

= 

∴數列是以1為首項和公差的等差數列. 

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:S_n=1+n-1=nS_n=；

∴(x)=·S_n·xⁿ=nxⁿ,b_n=(p)=npⁿ, 

T_n==b₁+b₂+…+b_n=p+2p²+3p³+…+npⁿ,    ①

由于p＞0,p≠1,故pT_n=p²+2p³+3p⁴+…+npⁿ⁺¹,  ②

①-②得：(1-p)T_n=p+p²+p³+…+pⁿ-npⁿ⁺¹=-npⁿ⁺¹, 

T_n=,  

從而,∴當0＜p＜1時,,

當p＞1且n→∞時,不存在.