Question

對于函數y=f（x），如果存在區間[m，n]，同時滿足下列條件：①f（x）在[m，n]內是單調的；②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]是該函數的“夢想區間”．若函數f(x)=a-

1

x

(a＞0)存在“夢想區間”，則a的取值范圍是（　�。�

• A．(

  4

  3

  ，2)
• B．(

  3

  2

  ，+∞)
• C．(

  1

  2

  ，

  5

  2

  )
• D．（2，+∞）

Answer 1

分析：易得函數在區間[m，n]是單調的，由f（m）=m，f（n）=n可得故m、n是方程x²-ax+1=0有兩個同號的實數根，由△=（-a）²-4＞0，解不等式即可．

解答：解：由題意可得函數f(x)=a-

1

x

(a＞0)在區間[m，n]是單調的，
所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），則f（m）=m，f（n）=n，
故m、n是方程a-

1

x

=x的兩個同號的實數根，
即方程x²-ax+1=0有兩個同號的實數根，注意到mn=1＞0，
故只需△=（-a）²-4＞0，解得a＞2或a＜-2，
結合a＞0，可得a＞2
故答案為 D

點評：本題考查函數單調性的判斷和一元二次方程的根的分布，屬基礎題．