Question

如圖，圓柱OO₁內有一個三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面為圓柱底面的內接三角形，且AB是圓O直徑，AA₁=AC=CB=2．
（Ⅰ）證明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）設E，F分別為AC，BC上的動點，且CE=BF=x，問當x為何值時，三棱錐C-EC₁F的體積最大，最大值為多少？

Answer 1

分析：（I）欲證平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁，關鍵是找線面垂直，根據直線與平面垂直的判定定理可知BC⊥平面A₁ACC₁；
（II）表示出三棱錐C-EC₁F的體積，利用配方法，可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：因為AA₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA₁⊥BC，
因為AB是圓O直徑，所以BC⊥AC，又AC∩AA₁=A，所以BC⊥平面A₁ACC₁，
而BC?平面B₁BCC₁，所以平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（II）解：∵CE=BF=x，∴CF=2-x
∴VC-EC1F=VC1-ECF=

1

3

S△ECF•CC1=

1

3

•2•

1

2

x•(2-x)=

1

3

[-(x-1)2+1]
∴x=1時，三棱錐C-EC₁F的體積最大，最大值為

1

3

．

點評：本題考查了線面、面面垂直的判定與性質定理，三棱柱的體積公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．