Question

已知函數f（x）=x³-，且f（x）在x=1處取得極值．
（1）求b的值；
（2）若當x∈[1，2]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍；
（3）c為何值時，曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中函數f（x）=x³-，且f（x）在x=1處取得極值，我們求出f′（x）的解析式，根據f′（1）=0，我們易可構造一個關于b的方程，解方程即可得到b的值；
（2）利用導數法，我們可以判斷出當x∈[1，2]時，函數f（x）的單調性，進而求出f（x）在區間[1，2]的最大值，根據當x∈[1，2]時，f（x）＜c²恒成立，可以構造一個關于c的不等式，解不等式即可得到c的取值范圍；
（3）若曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點，則y=f（x）的極大值小于0，或y=f（x）的極小值大于0，進而構造關于x的不等式，解不等式即可求出c的取值范圍．
解答：解：（1）∵f（x）=x³-，
∴f′（x）=3x²-x+b，…．（1分）
∵f（x）在x=1處取極值，
∴f′（1）=0             …（2分）
∴3-1+b=0
即b=-2          …（3分）
（2）由（1）可得f′（x）=3x²-x-2
令f′（x）=0，則x=，或x=1           …..（4分）
∵x∈（-∞，）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
∴在閉區間[-1，2]上，f（x）單調遞增    …（5分）
∴在閉區間[-1，2]上，f（x）的最大值為f（2）=2+c＜c²，…（6分）
∴c＞2，或c＜-1                       …（7分）
（3）由（1）、（2）可知：
f（x）的極大值為f（）=，
f（x）的極小值為f（1）=c-     …（8分）
∵當f（）＜0，或f（1）＞0時，曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點   …．（9分）
∴＜0，或c-＞0，
即c＜，或c＞時，
曲線y=f（x）與x軸僅有一個交點…（10分）
點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上函數的最值，利用導數研究函數的單調性，其中根據函數的解析式，求出導函數的解析式是解答本題的關鍵．