Question

【題目】為調查高中生的數學成績與學生自主學習時間之間的相關關系，某重點高中數學教師對新入學的45名學生進行了跟蹤調查，其中每周自主做數學題的時間不少于15小時的有19人，余下的人中，在高三模擬考試中數學平均成績不足120分的占 ，統計成績后，得到如下的2×2列聯表：

	分數大于等于120分	分數不足120分	合 計
周做題時間不少于15小時		4	19
周做題時間不足15小時
合 計			45

（Ⅰ）請完成上面的2×2列聯表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”；
（Ⅱ）（i） 按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分數大于等于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數是X，求X的分布列（概率用組合數算式表示）；
（ii） 若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人，求這些人中周做題時間不少于15小時的人數的期望和方差．
附：

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）列聯表：

	分數大于等于120分	分數不足120分	合計
周做題時間不少于15小時	15	4	19
周做題時間不足15小時	10	16	26
合計	25	20	45

∵ ，
∴能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“高中生的數學成績與學生自主學習時間有關”．
（Ⅱ）（ i）9× =4，故需要從不足120分的學生中抽取4人．
X的可能取值為0，1，2，3，4，
P（X=0）= ，P（X=1）= ，P（X=2）= ，P（X=3）= ，P（X=4）= ．
（ ii）從全校大于等于120分的學生中隨機抽取1人，此人周做題時間不少于15小時的概率為 =0.6，
設從全校大于等于120分的學生中隨機抽取20人，這些人中周做題時間不少于15小時的人數為隨機變量Y，則Y～B（20，0.6），
故E（Y）=12，D（Y）=4.8．
【解析】（I）根據比例計算每周自主做數學題的時間不足15小時，且數學平均成績不足120分的人數，再根據合計數填表；（II）（i）計算抽取的人數中分數不足120分的人數，根據超幾何分布的概率公式計算；（ii）根據二項分布的性質計算．