Question

如圖，等腰梯形ABCD,AD//BC,P是平面ABCD外一點，P在平面ABCD的射影O恰在AD上，.

（1）證明：；
（2）求二面角A-BP-D的余弦值.

Answer 1

（1）見解析(2)

試題分析：
(1)要證明直線PA垂直BO,根據線面垂直的性質只需要證明BO垂直于PA所在的面PAD即可,首先O是點P在面ABCD上的投影,則有PO垂直于面ABCD,即有BO與PO垂直,三角形ABO的三條邊已知,則利用三角形的勾股定理即可證明BO垂直于AD,即有BO垂直于面PAD內兩條相交的直線,則BO垂直于面PAD,故有BO垂直于PA.
(2)根據(1)利用AD,PO,BO兩兩垂直,即可分別設為x,y,z軸建立三維直角坐標系,利用坐標法來求解二面角,即分別求出面ABP與面BPD的法向量,法向量的夾角即為二面角或其補角,根據觀察不能發現該二面角是鈍角,則利用向量內積的定義即可求出該二面角的余弦值.
試題解析：
（1）在中，，
則，∴⊥.
∵⊥平面，∴⊥.
又平面，平面，且，
∴⊥平面.
又平面，∴⊥.   6分

（2）由題知，以為坐標原點，為軸，
建立如圖空間直角坐標系.
由已知，，∴.
因為等腰梯形，，，
所以，∴，，
，，    8分
所以，，
，.
設平面的法向量為，則，
令，故，即.
設平面的法向量為，
則，
令，∴，即.
故，
設二面角的大小為，由圖可知是鈍角，
所以二面角的余弦值為.    12分