Question

已知函數f(x)=log2

1+x

1-x

，求函數f（x）的定義域，并討論它的奇偶性和單調性．

Answer 1

分析：由題，可令

1+x

1-x

＞0，解出函數的定義域，由f（-x）=log2(

1+x

1-x

)-1=-f（x），依據奇函數定義得出函數的奇偶性，再由復合函數單調性的判斷方法判斷出單調性即可

解答：解：由題意，令

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，故函數的定義域為（-1，1）
由于f（-x）=log2(

1+x

1-x

)-1=-f（x），∴函數是奇函數
當x∈（-1，1）時
y=1-x是減函數
y=

2

1-x

是增函數
y=

2

1-x

-1是增函數
f(x)=log2

1+x

1-x

是增函數
綜上，函數的定義域為（-1，1），此函數是一個奇函數，也是一個增函數

點評：本題考點是對數函數圖象與性質的應用，考察了對數函數定義域的求法，對數的運算性質，函數奇偶性的判斷，復合函數單調性的判斷規則，解題的關鍵是熟練掌握對數的性質、復合函數單調性的判斷規則，本題考察了推理判斷的能力