Question

(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．

已知函數(shù)．

(1) 試說明函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經過怎樣的變換得到的；

(2) (理科)若函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性，并用反證法證明函數(shù)的最小正周期是；

 (3) 求函數(shù)的單調區(qū)間和值域．

 

Answer 1

【答案】

解(1)∵

，     

∴．

∴函數(shù)的圖像可由的圖像按如下方式變換得到：

①將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像；

②將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)的圖像；

③將函數(shù)的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)的圖像．

(2)(理科)由(1)知，，

　∴．

  又對任意，有，

　∴函數(shù)是偶函數(shù)．

　∵，

∴是周期函數(shù)，是它的一個周期．

現(xiàn)用反證法證明是函數(shù)的最小正周期。

反證法：假設不是函數(shù)的最小正周期，設是的最小正周期．

則，即．

令，得，兩邊平方后化簡，得，這與()矛盾．因此，假設不成立．

所以，函數(shù)的最小正周期是．

 (3)(理科)先求函數(shù)在一個周期內的單調區(qū)間和函數(shù)值的取值范圍。

當時，，且．

易知，此時函數(shù)的單調增區(qū)間是，單調減區(qū)間是；

函數(shù)的取值范圍是．

因此，依據(jù)周期函數(shù)的性質，可知函數(shù)的單調增區(qū)間是

；單調減區(qū)間是；

函數(shù)的值域是．

【解析】橫坐標先放縮，再平移也可．即將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數(shù)，再將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，最后將函數(shù)的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數(shù)的圖像．