Question

設直線l:x+2y+1=0交橢圓C:4(x-1)²+9(y+2)²=36于A、B兩點，在橢圓上求一點P，使△ABP的面積最大.

Answer 1

思路解析：因為A、B為兩定點,AB為定長,所以可將問題轉化為在橢圓上求一點到直線的距離最大的問題.

解：設橢圓C上的點P(1+3cosθ,-2+2sinθ),

由于定直線l和定橢圓C截得的弦長為定長,

又設P到直線l的距離為d,則

d=|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=.

故當sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+-α,k∈Z時,d有最大值,這時△ABP的面積最大.

∵sinθ=sin(2kπ+-α)

=-cosα=-,

cosθ=-sinα=-,

∴P(-,-)為所求.