Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝，點E是棱PB的中點．

(Ⅰ) 求直線AD與平面PBC的距離；

(Ⅱ) 若AD＝，求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

【解析】（1）用傳統方法求距離,先要作出表示距離的線段,然后歸結為解三角形問題;（2）求二面角時，要掌握“一作二證三求解”的步驟（或者用向量法也行）

（I）在矩形ABCD中，AD//BC，從而AD//平面PBC，故直線AD與平面PBC的距離為點A到平面PBC的距離.因PA⊥底面ABCD，故PA⊥AB，由PA=AB知為等腰直角三角形，又點E是棱PB的中點，故AE⊥PB

又在矩形ABCD中，BC⊥AB，而AB是PB在底面ABCD內的射影，由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE，從而AE⊥平面PBC，故AE之長即為直線AD與平面PBC的距離.

在中，PA=AB=，所以

（II）過點D作DF⊥CE，交CE于F，過點F作FG⊥CE，交AC于G，則為所求的二面角的平面角.由（I）知BC⊥平面PAB，又AD//BC，得AD⊥平面PAB，

故AD⊥AE，從而

在中，為等邊三角形，故F為CE的中點，且

因為AE⊥平面PBC，故AE⊥CE，又FG⊥CE，知，從而且G點為AC的中點.連接DG，則在

所以