Question

已知函數f(x)=2cosωx(

3

sinωx+cosωx)（其中ω＞0），且函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為π．
（1）先列表再作出函數f（x）在區間[-π，π]上的圖象．
（2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求函數f（A）的取值范圍．
（3）若f(

x

2

)=2，求cos(

2π

3

-x)的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的正弦函數公式化簡函數f（x）的解析式為 2sin（2ωx+

π

6

）+1，由周期求得ω的值，即可確定f（x）的解析式為 2sin（x+

π

6

）+1，列表作出它的圖象．
（2）由f（x）的解析式，將x=A代入表示出f（A），由正弦定理化簡已知的等式，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡后，得到cosB的值，求得B的值，進而
得到A+C的值，得出A的取值范圍，根據正弦函數的圖象與性質得出此時正弦函數的值域，進而確定出f（A）的取值范圍．
（3）由 f（

x

2

0=2，求得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，再利用二倍角公式、誘導公式求得 cos（

2π

3

-x）=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1 的值．

解答：解：（1）函數f(x)=2cosωx(

3

sinωx+cosωx)=

3

sin2ωx+cos2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+1，
∵函數f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離為π，∴

1

2

•

2π

2ω

=π，解得ω=

1

2

，∴f（x）=2sin（x+

π

6

）+1．
列表

x+ π 6	- 5π 6	- π 2	0	π 2	π	7π 6
x	-π	- 2π 3	- π 6	π 3	5π 6	π
f（x）	0	-1	1	3	1	0

如圖所示：

（2）將（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化簡得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

． 又B為三角形的內角，∴B=

π

3

．
∴A+C=

2π

3

，0＜A＜

2π

3

，

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，故函數f（A）=2sin（A+

π

6

）+1 的取值范圍為（2，3]．
（3）∵f（

x

2

）=2sin（

x

2

+

π

6

）+1=2，∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（

2π

3

-x）=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

π

6

+

x

2

)-1=2×

1

4

-1=-

1

2

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦定理的應用，作函數y=Asin（ωx+∅）的部分圖象，屬于中檔題．