Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；

（2）若，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，極值點(diǎn)為；當(dāng)且時(shí)，極值點(diǎn)為和；（2）.

【解析】

(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論、、且即可求出函數(shù)的極值點(diǎn);

(2)由題意可將，恒成立轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，分，與兩種情況討論，分別用導(dǎo)數(shù)的方法研究其在上的單調(diào)性和值域，即可篩選出符合題意的的取值范圍.

（1）,

當(dāng)時(shí)，，故無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，極值點(diǎn)為；

當(dāng)且時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和.

（2），依題意，當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)時(shí)，.

設(shè)，則.

設(shè)，則.

①當(dāng)時(shí)，，，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），

在上單調(diào)遞增.

又，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減，又，

從而當(dāng)時(shí)，，即，

于是當(dāng)時(shí)，.

②當(dāng)時(shí)，令，得，.

故當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞減.

又，當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，又，

從而當(dāng)時(shí)，，即，

于是當(dāng)時(shí)，，不符合題意.

綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.