Question

已知數列滿足對任意的，都有，
且．
（1）求，的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）設數列的前項和為，不等式對任意的正整數 恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）（2）（3）

（1）解：當時，有，
由于，所以．
當時，有，
將代入上式，由于，所以．
（2）解：由于，                    ①
則有．              ②
②－①，得，
由于，所以．                   ③
同樣有，                        ④
③－④，得．
所以．
由于，即當時都有，所以數列是首項為1，公差為1的等差數列．
故．
（3）解：由（2）知，則．
所以

．
∵，∴數列單調遞增．
所以．
要使不等式對任意正整數恒成立，只要．
∵，∴．
∴，即．
所以，實數的取值范圍是．