Question

設是滿足不等式的自然數的個數，其中．

（Ⅰ）求的值；

(Ⅱ) 求的解析式；

（Ⅲ）記，令，試比較與的大小．

Answer 1

（Ⅰ）

(Ⅱ)

（Ⅲ）當n=2,4時,;當n=3時,;當n=1或時;---14分

解析:

（Ⅰ）當時，原不等式即，解得，

    ∴ 即------------------------------2分

(Ⅱ)原不等式等價于

……………………………………………..4分

………………………………………………………..6分

∴……8分

（Ⅲ）∵

n=1時，；n=2時， 

n=3時，；n=4時，

n=5時，；n=6時，…………………………………………9分

猜想：時 下面用數學歸納法給出證明

①當n=5時，，已證…………………………………………………….10分

②假設時結論成立即

那么n=k+1時，

在范圍內，恒成立,則，即

由①②可得，猜想正確，即時，…………………………………..  13分

綜上所述：當n=2,4時,;當n=3時,;當n=1或時;---14分