Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣lnx．
（1）求函數y=f（x）的單調區間；
（2）設g（x）=x﹣t，若函數h（x）=g（x）﹣f（x）在[ ，e]上（這里e≈2.718）恰有兩個不同的零點，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數定義域為（0，+∞）

f′（x）=2x﹣ = ，

所以函數的單調減區間為（0， ）單調增區間為（ ，+∞）

（2）解：函數函數h（x）=g（x）﹣f（x）=x﹣t﹣x2+lnx在[ ，e]恰有兩個不同的零點，

等價于t=x﹣x2+lnx在[ ，e]恰有兩個不同的實數根

令k（x）=x﹣x2+lnx則k′（x）=﹣

當x∈（ ，1）時，k′（x）＞0，k（x）在（ ，1）遞增，

當（1，e）時，k′（x）＜0，k（x）在（1，e）遞減）

故kmax（x）=k（1）=0，k（ ）= ﹣1，k（e）=﹣e2+e+1，

所以t∈[ ﹣1，﹣e2+e+1]

【解析】（1）求解f′（x）=2x﹣ ，利用不等式得出單調性即可．（2）轉化為t=x﹣x2+lnx在[ ，e]恰有兩個不同的實數根，構造函數令k（x）=x﹣x2+lnx利用k′（x）=﹣ 求解最值．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．