Question

如圖所示,定橢圓=1(a>b>0)上的動點P不重合于短軸兩端點B₁與B₂,設兩直線B₁P、B₂P與x軸分別相交于點M、N.問|OM|·|ON|是否為定值?

      

Answer 1

解析:取P(a,0),則M(a,0)、N(a,0),從而?|OM|·|ON|=a²;?

       取P(c,),則M(,0),N(,0).?

       故|OM|·|ON|=a².?

       于是猜想|OM|·|ON|=a²為定值.?

       證明:設P(acosθ,bsinθ),其中|sinθ|≠1,?

       且設M(x₁,0),N(x₂,0).?

       ∵三點B、M、P共線,且三點B₂、N、P共線,?

       ∴,,?

       即x₁=,x₂=.?

       則|OM|·|ON|=|x₁|·|x₂|=|x₁·x₂|?

       =||=||＝a²(定值).?

       故|OM|·|ON|為定值.