Question

如圖1-3-16所示棱錐P—ABCD中,底面ABCD是正方形,邊長為a,PD=a,PA=PC=a,且PD是四棱錐的高.

圖1-3-16

(1)在這個四棱錐中放入一個球求球的最大半徑;

(2)求四棱錐外接球的半徑.

Answer 1

思路分析:(1)當所放的球與四棱錐各面都相切時球的半徑最大,即球心到各個面的距離均相等,聯想到用體積法求解.(2)四棱錐的外接球的球心到P、A、B、C、D五點的距離均為半徑,只要找出球心的位置即可.在Rt△PDB中,斜邊PB的中點為F,則PF=FB=FD,只要證明FA=FC=FP即可.

解:(1)設此球半徑為R,最大的球應與四棱錐各個面都相切,設球心為S,連結SA、SB、SC、SD、SP,則把此四棱錐分為五個棱錐,設它們的高均為R.

V_P—ABCD=·S_ABCD·PD=·a·a·a=a³,

S_△PAD=S_△PDC=·a·a=a²,

S_△PAB=S_△PBC=·a·a=a²,

S_ABCD=a².

V_P—ABCD=V_S—PDA+V_S—PDC+V_S—ABCD+V_S—PAB+V_S—PBC,

a³=R(S_△PAD+S_△PDC+S_△PAB+S_△PBC+S_ABCD),

a³=R(a²+a²+a²+a²+a²),

所以(2+)a²=a³,

R=a=(1-)a,

即球的最大半徑為(1-)a.

(2)設PB的中點為F.

因為在Rt△PDB中,FP=FB=FD,

在Rt△PAB中,FA=FP=FB,

在Rt△PBC中,FP=FB=FC,

所以FP=FB=FA=FC=FD.

所以F為四棱錐外接球的球心,

則FP為外接球的半徑.

因為FB=PB,所以FB=a,

所以四棱錐外接球的半徑為a.