Question

（2013•寧德模擬）已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率e=

1

2

．
（I）若點F在直線l：x-y+1=0上，求橢圓E的方程；
（II）若0＜a＜1，試探究橢圓E上是否存在點P，使得

PF

•

PA

=1？若存在，求出點P的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）橢圓的左焦點F在直線l：x-y+1=0上，把F的坐標代入直線方程可求c的值，與離心率e=

1

2

聯立后可求a的值，則橢圓E的方程可求；
（Ⅱ）假設橢圓E上存在點P，使得

PF

•

PA

=1，設出P點坐標，求出向量

PF

和

PA

，代入

PF

•

PA

=1后求出點P的橫坐標，由題目給出的a的范圍推出點P橫坐標不在[-a，a]內，從而得出矛盾，假設錯誤．

解答：解：（Ⅰ）∵F（-c，0）在直線l：x-y+1=0上，
∴-c+1=0，即c=1，
又e=

c

a

=

1

2

，∴a=2c=2，
∴b=

a2-c2

=

22-12

=

3

．
從而橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由e=

c

a

=

1

2

，得c=

1

2

a，
∴b=

a2-c2

=

a2- a2 4

=

3 a

2

，
橢圓E的方程為

x2

a2

+

4y2

3a2

=1，其左焦點為F(-

1

2

a，0)，右頂點為A（a，0），
假設橢圓E上存在點P（x₀，y₀）（-a≤x₀≤a），使得

PF

•

PA

=1，
∵點P（x₀，y₀）在橢圓上，∴y02=-

3

4

x02+

3

4

a2，
由

PF

•

PA

=(-

1

2

a-x0，-y0)•(a-x0，-y0)
=(-

1

2

a-x0)(a-x0)+y02
=-

1

2

a2-

1

2

ax0+x02-

3

4

x02+

3

4

a2
=

1

4

(x0-a)2=1．
解得：x₀=a±2，
∵0＜a＜1，∴
x₀=a±2∉[-a，a]，
故不存在點P，使得

PF

•

PA

=1．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了橢圓的標準方程，訓練了存在性問題的處理方法，對于存在性問題，解決的思路是假設結論成立，把假設作為已知條件進行推理，得出正確的等式關系則假設成立，肯定結論，否則假設不成立，否定結論．此題是中檔題．