Question

（2012•湖北模擬）設

e1

，

e2

，

e3

為空間的三個向量，如果λ1

e1

+λ2

e2

+λ3

e3

=

0

成立的充要條件為λ₁=λ₂=λ₃=0，則稱

e1

，

e2

，

e3

線性無關，否則稱它們線性相關．今已知

a

=(1，-2，3)，

b

=(-3，1，1)，

c

=(2，-1，m)線性相關，那么實數m等于

0

．

Answer 1

分析：根據題意，分析可得，若三個向量線性相關，則存在不全為0的實數x、y、z，使得x

a

+y

b

+z

c

=

0

成立，由向量的坐標運算可得

x-3y+2z=0  -2x+y-z=0 3x+y+mz=0

，分析可得x=-

1

5

z，y=

3

5

z，進而有mz=0，又由x、y、z不全為0，分析可得z≠0，即可得答案．

解答：解：根據題意，若

a

=(1，-2，3)，

b

=(-3，1，1)，

c

=(2，-1，m)線性相關，
則存在不全為0的實數x、y、z，使得x

a

+y

b

+z

c

=

0

成立，
即

x-3y+2z=0  -2x+y-z=0 3x+y+mz=0

，
解

x-3y+2z=0 -2x+y-z=0

，可得x=-

1

5

z，y=

3

5

z，
將其代入3x+y+mz=0中，有mz=0，
又由x、y、z不全為0，且x=-

1

5

z，y=

3

5

z，
則z≠0，
故有m=0，
故答案為0．

點評：本題考查空間向量的線性相關的判斷，關鍵是正確理解空間向量的線性相關定義．