Question

設a≥0，函數的最大值為g（a）．
（1）設，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數m（t）；
（2）求g（a）；
（3）試求滿足的所有實數a．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，且定義域-1≤x≤1，易求得t的取值范圍，且，
（2）g（a）即為函數，的最大值．結合二次函數圖象與性質，分類討論的方法求解．
（3）將化為具體方程，須利用分段函數的知識，分a，的范圍進行分類討論．
解答：解：（1），
要使有t意義，必須1+x≥0，且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴①
∴t的取值范圍是．（2分）
由①得，
∴，．（4分）
（2）由題意知g（a）即為函數，的最大值．
注意到直線是拋物線的對稱軸，
分以下幾種情況討論．
1°當a＞0時，
①由，即時，．（5分）
②由，即時，
在單調遞增，．（6分）
2°當a=0時，m（t）=t，，
∴．（7分）
綜上有g（a）=（8分）
（3）分以下幾種情形討論：
情形①：當，且時，即時，由，
得，解得a=1．（9分）
情形②：當，且時，即時，由，
得，解得（舍） （10分）
情形③：當，且時，即a∈φ時，不成立．
情形④：當，且時，即時，由，
得，解得（舍）
綜上有a=1，滿足．（12分）
點評：本題考查二次函數的圖象、性質，考查分段函數值求解，方程求解，滲透了數形結合、分類討論的思想．在進行分類討論時要注意“不重復、不遺漏”，具體的說在（2）中，不要漏掉a=0情形，在（3）中要考慮a，分別與0，的大小關系．