Question

已知函數f（x）=sin2x-（cos²x-sin²x）-1，x∈R，將函數f（x）的圖象向左平移個單位后得函數g（x）的圖象，
（1）求函數f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）設銳角ABC三個角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若g（B）=0且=（cosA，cosB），=（1，sinA-cosAtanB），求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意，得f（x）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1
因此，f（x）的最小正周期T==π
令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
∴函數f（x）的單調遞減區間為[+2kπ，+2kπ]，k∈Z
（2）∵將函數f（x）的圖象向左平移個單位后得函數g（x）的圖象，
∴g（x）=f（x+）=sin[2（x+）-]=sin（2x+）-1
由此可得g（B）=sin（2B+）-1=0，結合B∈（0，）可解得B=
∴=（cosA，cosB）=（cosA，），=（1，sinA-cosAtanB）=（1，sinA-cosA），
因此，=cosA+（sinA-cosA）=sinA+cosA=sin（A+），
∵A∈（0，），C=-A∈（0，）
∴＜A＜，得A+∈（，）
結合正弦函數的圖象與性質，可得sin（A+）∈（，1）
即的取值范圍是（，1）．
分析：（1）由二倍角的余弦公式和輔助角公式，化簡得f（x）=sin（2x-）-1，再結合正弦函數單調區間的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）根據函數圖象平移公式，可得g（x）=f（x+）=sin（2x+）-1，由g（B）=0可解得B=，從而得到向量、關于A的坐標形式，得到=sin（A+），最后結合三角形為銳角三角形和正弦函數的圖象與性質，即可算出的取值范圍．
點評：本題給出三角函數式，求函數的單調區間和周期，并求在閉區間上的最值，著重考查了三角恒等變換和三角函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．