Question

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，側(cè)棱長為

2

，D為A₁C₁中點，則直線AA₁與面AB₁D所成角的正弦值為（　　）

• A．

  6

  3

• B．

  3

  3

• C．

  6

  6

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：利用等體積法，求出A₁到面AB₁D的距離，再利用正弦函數(shù)可得結(jié)論．

解答：解：設(shè)A₁到面AB₁D的距離為h，則
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長為2，側(cè)棱長為

2

，D為A₁C₁中點，
∴△AB₁D中，AB₁=

6

，AD=

3

，B₁D=

3

∴AB₁邊上的高為

3-( 6 2 )2

=

6

2

∴S△AB1D=

1

2

×

6

×

6

2

=

3

2

∵S△A1B1D=

1

2

×1×

3

=

3

2

∴由VA-A1B1D=VA1-AB1D可得

1

3

×

3

2

×

2

=

1

3

×

3

2

×h
∴h=

6

3

∴直線AA₁與面AB₁D所成角的正弦值為

6 3

2

=

3

3

故選B．

點評：本題考查線面角，考查學(xué)生的計算能力，正確求出A₁到面AB₁D的距離是關(guān)鍵．