Question

某學校要建造一個面積為10000平方米的運動場．如圖，運動場是由一個矩形ABCD和分別以AD、BC為直徑的兩個半圓組成．跑道是一條寬8米的塑膠跑道，運動場除跑道外，其他地方均鋪設草皮．已知塑膠跑道每平方米造價為150元，草皮每平方米造價為30元．
（1）設半圓的半徑OA=r（米），試建立塑膠跑道面積S與r的函數關系S（r）；
（2）由于條件限制r∈[30，40]，問當r取何值時，運動場造價最低？（精確到元）

Answer 1

分析：（1）跑道的面積等于一個大圓減去一個小圓加上一個大矩形減去一個小矩形，
（2）將實際問題的最值轉化成數學問題的最值，用函數單調性求最值

解答：解：（1）塑膠跑道面積S=π[r²-（r-8）²]+8×

10000-πr2

2r

×2
=

80000

r

+8πr-64π（8＜r＜

100

π

）
（2）設運動場造價為y則
y=150×（

80000

r

+8πr-64π）+30×（10000-

80000

r

-8πr+64π）
=300000+120（

80000

r

+8πr）-7680π
∵r∈[30，40]，函數y是r的減函數
∴當r=40，運動場造價最低為636510元
答：塑膠跑道面積S與r的函數關系S（r）=

80000

r

+8πr-64π（8＜r＜

100

π

）
當r=40，運動場造價最低為636510元

點評：本題考查建立數學模型的能力；用單調性求最值的方法．