Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，f（x）在點x=0處取得極值，并且在單調(diào)區(qū)間[0，3]和[5，6]上具有相反的單調(diào)性．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，由f（x）在點x=0處取得極值，可得f′（0）=0，解得b=0．
可得f′(x)=3x2+2ax=3x(x+

2a

3

)．利用取得
可知a≠0時，b=0時，利用取得極值的條件即可得出．
（2）由于f（x）在單調(diào)區(qū)間[0，3]和[5，6]上具有相反的單調(diào)性．
可知：f′（x）區(qū)間[0，3]和[5，6]上具有相反的符號．分為以下兩種情況：
1°若f′（x）區(qū)間[0，3]上f′（x）＞0，則[5，6]上f′（x）＜0．
2°若f′（x）區(qū)間[0，3]上f′（x）＜0，則[5，6]上f′（x）＞0．對a分類討論即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，∵f（x）在點x=0處取得極值，∴f′（0）=0，解得b=0．
∴f′(x)=3x2+2ax=3x(x+

2a

3

)．
可知a≠0時，b=0時，f′（x）在x=0處的左右符號相反，因此函數(shù)f（x）在點x=0處取得極值．
（2）由（1）可知：f′(x)=3x2+2ax=3x(x+

2a

3

)=3(x+

a

3

)2-

a2

3

．
∵f（x）在單調(diào)區(qū)間[0，3]和[5，6]上具有相反的單調(diào)性．
∴f′（x）區(qū)間[0，3]和[5，6]上具有相反的符號．分為以下兩種情況：
1°若f′（x）區(qū)間[0，3]上f′（x）＞0，則[5，6]上f′（x）＜0．
2°若f′（x）區(qū)間[0，3]上f′（x）＜0，則[5，6]上f′（x）＞0．
①當a＞0時，f′（x）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，∴f′（3）≤0，且f′（5）≥0，解得-

15

2

≤a≤-

9

2

，應(yīng)舍去；
②當a＜0時，-

a

3

＞0．f′（x）在區(qū)間[0，-

a

3

)單調(diào)遞減，在區(qū)間(-

a

3

，+∞)單調(diào)遞增．
∵f′（0）=0，∴必有

f′(3)＜0 f′(5)≥0

，解得-

15

2

≤a＜-

9

2

．
綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是-

15

2

≤a＜-

9

2

．

點評：熟練掌握利用導數(shù)研究函數(shù)取得極值的條件、單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．