Question

求漸近線方程為y=±

3

4

x，且過點A(2

3

，-3)的雙曲線的標準方程及離心率．

Answer 1

分析：根據題意，設雙曲線方程為

x2

16

-

y2

9

=λ，將點A坐標代入算出λ=-

1

4

，從而得到雙曲線方程．再將雙曲線方程化成標準形式，即可算出a、b、c的值，從而得到該雙曲線的離心率．

解答：解：∵雙曲線的漸近線方程為y=±

3

4

x，
∴設所求雙曲線方程為

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)
∵點A(2

3

，-3)在雙曲線上，
∴

12

16

-

9

9

=λ，解之得λ=-

1

4

∴所求雙曲線方程為

y2

9 4

-

x2

4

=1
∵a2=

9

4

，b2=4，∴可得c2=

25

4

，得c=

5

2

因此，雙曲線的離心率為：e=

c

a

=

5

3

點評：本題給出雙曲線的漸近線和它經過的點A坐標，求雙曲線的方程并求離心率．著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．