Question

有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A、B、C三點(diǎn)處，且AB=AC=13 km,BC=10 km，今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線上的P點(diǎn)處.(建立坐標(biāo)系如圖(甲))

(1)若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，則點(diǎn)P應(yīng)位于何處;

(2)若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

Answer 1

分析：先求出①P點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)距離的平方和f(y);②P點(diǎn)到A、B、C三點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離g(y)，然后分別求出f(y)、g(y)的最小值.

解：(1)設(shè)P(0,y)，則P到三鎮(zhèn)距離的平方和為f(y)=2(25+y²)+(12-y)²=3(y-4)²+146.

    所以當(dāng)y=4時(shí)，函數(shù)f(y)取得最小值.

    所以P點(diǎn)應(yīng)位于的坐標(biāo)為(0,4).

(2)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為g(y)=

    由≥|12-y|,得y≥.

    記y^*=，于是

g(y)=如圖(乙).

    因?yàn)?SUB>在［y^*,+∞)上是增函數(shù)，而|12-y|在(-∞,y^*)上是減函數(shù)，所以當(dāng)y=y^*時(shí)，函數(shù)g(y)取得最小值.

    所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,).