Question

已知橢圓C的中心坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為它的左、右焦點(diǎn)，直線x=4為它的一條準(zhǔn)線，又知橢圓C上存在點(diǎn)M使2

MF1

-

MF2

=|

MF1

|•|

MF2

|•|

MF1

|=|

MF2

|．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若PQ為過(guò)橢圓焦點(diǎn)F₂的弦，且

PF2

=λ

F2Q

，求△PF1Q內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，由直線x=4為橢圓C的準(zhǔn)線，知

a2

c

=4，由|

MF1

|=|

MF2

|，知M為橢圓C短軸上的頂點(diǎn)，由|

MF1

| •|

MF2

| =2

MF1

•

MF2

，知△F₁MF₂為等邊三角形，由此能導(dǎo)出橢圓C的方程．
（2）顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)PQ與x軸垂直，即直線PQ分斜率不存在時(shí)，|PQ|=

2b2

a

=3，|F₁F₂|=2，S△PF1Q=

1

2

×3×2=3，當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k，則直線PQ的方程為y=k（x-1），k≠0，代入橢圓C的方程，消去x的并整理得：（4k²+3）y²+6ky-9k²=0，再由根的判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行求解．

解答：解：（1）據(jù)題意，設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，∵直線x=4為橢圓C的準(zhǔn)線，∴

a2

c

=4
又|

MF1

|=|

MF2

|，∴M為橢圓C短軸上的頂點(diǎn)，
∵|

MF1

| •|

MF2

| =2

MF1

•

MF2

，∴cos∠F1MF2=

MF1 • MF2

| MF1 | •| MF2 |

=

1

2

，
∴∠F₁MF₂=60°，△F₁MF₂為等邊三角形
∴α=|

MF1

| =|

MF2

| =2c，故a²=4c=2a，_∴a=2，c=1，
且b²=3，∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1
（2）顯然直線PQ不與x軸重合，當(dāng)PQ與x軸垂直，即直線PQ分斜率不存在時(shí)，
|PQ|=

2b2

a

=3，|F₁F₂|=2，
∴S△PF1Q=

1

2

×3×2=3，
當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k，
則直線PQ的方程為y=k（x-1），k≠0，代入橢圓C的方程，消去x的并整理得：
（4k²+3）y²+6ky-9k²=0，
△=36k²+36k²（4k²+3）＞0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y1+y2=

-6k

4k2+3

，y1y2=

-9k2

4k2+3

，
∴|PQ|=

1+ 1 k2

•|y1-y2|=

1+ 1 k2

•

(y1+y2)2-4y1y2

=

12(1+k2)

4k2+3

，
設(shè)4k²+3=t，則t＞3，此時(shí)k2=

t-3

4

，
S△PF1Q=12

( t-3 4 )2+ t-3 4 t2

•3

-3( 1 t + 1 3  )2+ 4 3

∵0＜

1

t

＜

1

3

，∴0＜S△PF1Q＜3，
綜上，直線PQ與x軸垂直時(shí)，△PF₁Q的面積最大，且最大面積為3．
設(shè)△PF₁Q內(nèi)切圓半徑為r，則

S△PF1Q=

1

2

(|

PF1

|+|

PQ

|+|

QF1

 |)•r=4R，
∴4r≤3，r≤

3

4

，∴r=

3

4

時(shí)，△PF₁Q內(nèi)切圓面積最大，此時(shí)不存在，
直線PQ與x軸垂直，∴

PF2

=

F2Q

_，即λ=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，注意韋達(dá)定和根的判別式的合理運(yùn)用．