Question

如圖，設(shè)扇形的半徑為x，弧長(zhǎng)為y．
（1）當(dāng)該扇形的面積為常數(shù)S時(shí)，問半徑x是多少時(shí)扇形的周長(zhǎng)最小？并求出最小值；
（2）當(dāng)該扇形的周長(zhǎng)為常數(shù)P時(shí)，問半徑x是多少時(shí)扇形的面積最大？并求出最大值．

Answer 1

分析：（1）先表示出S=

1

2

xy，然后表示出周長(zhǎng)Z=2x+y，最后由均值不等式求的答案．
（2）先表示出2x+y=P，然后T=

1

2

xy，利用均值不等式求出結(jié)果．

解答：解：（1）由題意得S=

1

2

xy，即xy=2S．（2分）
設(shè)扇形的周長(zhǎng)為Z，則Z=2x+y≥2

2xy

=4

S

，（5分）
當(dāng)且僅當(dāng)2x=y，即x=

S

，y=2

S

時(shí)，Z可以取到最小值，最小值為4

S

．（7分）
（2）由題意得2x+y=P．（9分）
設(shè)扇形的面積為T，則T=

1

2

xy=

1

4

(2x)y≤

1

4

(

2x+y

2

)2=

P2

16

，（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)2x=y，即x=

P

4

，y=

P

2

時(shí)，T可以取到最大值，最大值為

P2

16

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了扇形的面積以及均值不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．