Question

（08年華師一附中二次壓軸文）數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n＝2a_n－3n（n∈N^*）。

（1）若數列{a_n＋c}成等比數列，求常數c的值。

（2）求數列{a_n}的通項公式a_n。

（3）數列{a_n}中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解析:（1）由S_n＝2a_n－3n及S_n＋1＝2a_n＋1－3(n＋1)得a_n＋1＝2a_n＋3，

∴2，∴c＝3

（2）∵a₁＝S₁＝2a₁－3，∴a₁＝3。由（1）知a_n＋3＝(a₁＋3)?2^n－1。

∴a_n＝3?2ⁿ－3（n∈N^*）

（3）設存在s，p，r∈N^*，且s<p<r使a_s，a_p，a_r成等差數列，∴2a_p＝a_s＋a_r，

即2(3?2^p－3)＝(3?2^s－3)＋(3?2^r－3)

∴2^p＋1＝2^s＋2^r，∴2^p－s＋1＝1＋2^r－s。

∴2^p＋1＝2^s＋2^r，∴ 2^p－s＋1＝1＋2^r－s。

∵s，p，r∈N^*，且s<p<r，∴2^p-s+1、2^r－s為偶數，1＋2^r－s為奇數，

于是產生矛盾。因此，不存在滿足條件的三項。