Question

如圖1，四棱錐中，底面，面是直角梯形，為側棱上一點．該四棱錐的俯視圖和側（左）視圖如圖2所示．   

（1）證明：平面；

（2）線段上是否存在點，使與所成角的余弦值為？若存在，找到所有符合要求的點，并求的長；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1），證得．又因為 平面推出，             

又，所以 平面．

（2）點位于點處，此時；或中點處，此時.

【解析】

試題分析：（1）【方法一】證明：由俯視圖可得，，所以 ． 2分

又因為 平面，所以 ，              4分

又，所以 平面．               6分

（1）【方法二】證明：因為平面，，建立如圖所示

的空間直角坐標系． 在△中，易得，所以 ，

因為 ， 所以， ．由俯視圖和左視圖可得：

．

所以 ，．

因為 ，所以．               3分

又因為 平面，所以 ，又  

所以 平面．                                               6分

（2）解：線段上存在點，使與所成角的余弦值為．

證明如下：設 ，其中．                                 7分

所以 ，．

要使與所成角的余弦值為，則有 ，        9分

所以 ，解得或，均適合．         11分

故點位于點處，此時；或中點處，此時，        12分

考點：三視圖，立體幾何中的垂直關系、距離的計算。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。注意運用轉化與化歸思想，將空間問題轉化成平面問題。本題將三視圖與證明、計算問題綜合考查，凸顯三視圖的基礎地位，必須正確還原幾何體。