Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，AD⊥平面ABE，BF⊥平面ACE，AE=EB=BC，
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求證：AE∥平面BFD．

Answer 1

分析：（1）利用線面垂直的性質定理可得AE⊥BC，BF⊥AE，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）連接 GF，利用矩形的性質和等腰直角三角形的性質，三角形的中位線定理即可得出GF∥AE，再利用線面平行的判定定理即可證明．

解答：證明：（1）∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，∴AE⊥平面BCE．
（2）連接 GF，∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE
∵BE=BC，∴F為EC的中點；
∵矩形ABCD中，G為AC的中點，
∴GF∥AE．
又∵GF?平面BFD，AE?平面BFD，
∴AE∥平面BFD．

點評：熟練掌握線面垂直的判定和性質定理、矩形的性質和等腰直角三角形的性質，三角形的中位線定理、線面平行的判定定理是解題的關鍵．