Question

已知等差數列{a_n}滿足：a_n+1＞a_n（n∈N^*），a₁=1，該數列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數列{b_n}的前三項．
（Ⅰ）分別求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

(n∈N*)，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用數列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數列{b_n}的前三項，建立方程，求出公差與公比，即可得到數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法求出數列的和，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：設d、q分別為等差數列{a_n}、等比數列{b_n}的公差與公比，且d＞0
由a₁=1，a₂=1+d，a₃=1+2d，分別加上1，1，3有b₁=2，b₂=2+d，b₃=4+2d…（2分）
∵數列的前三項分別加上1，1，3后順次成為等比數列{b_n}的前三項
∴（2+d）²=2（4+2d），∴d²=4，
∵d＞0，∴d=2，∴q=

b2

b1

=

4

2

=2…（4分）
∴an=1+(n-1)×2=2n-1，bn=2×2n-1=2n…（6分）
（II）證明：Tn=

a1

b1

+

a2

b2

+…+

an

bn

=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，①

1

2

Tn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-1

2n+1

．②
①-②，得

1

2

Tn=

1

2

+(

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)-

2n-1

2n+1

．…（8分）
∴Tn=1+

1- 1 2n-1

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

．…（10分）
∵

2n+3

2n

＞0．∴3-

2n+3

2n

＜3…（12分）

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查數列的通項與求和，考查不等式的證明，確定數列的通項是關鍵．