Question

以下各命題：
①若棱柱的兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則它是直棱柱；
②若用一個(gè)平行于三棱錐底面的平面去截它，把這個(gè)三棱錐分成體積相等的兩部分，則
截面面積與底面面積之比為1：

2

；
③垂直于兩條異面直線，且到它們的距離都為同一定值d（d＞0）的直線一共有4條；
④存在側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)相等的正六棱錐．
其中正確的有

①③

（填寫正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：對(duì)于①說(shuō)明側(cè)棱垂直底面；②由一個(gè)錐體被平行于底面的截面所截得的小錐體與原錐體體積之比等于相似比的立方，截面面積與底面面積之比等于相似比的平方，容易得出答案．③畫出示意圖即可；④若正六棱錐底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，正六棱錐的側(cè)面構(gòu)成等邊三角形，側(cè)面的六個(gè)頂角都為60度，六個(gè)頂角的和為360度，這是不可能的，故側(cè)棱長(zhǎng) l和底面正六邊形的邊長(zhǎng)不可能相等．從而選出答案．

解答：解：對(duì)于①，相鄰兩側(cè)面垂直于底面，則側(cè)棱垂直于底面，所以該棱柱為直棱柱，因而①正確；
②若用一個(gè)平行于三棱錐底面的平面去截它，把這個(gè)三棱錐分成體積相等的兩部分，則小棱錐與大棱錐的體積之比為

1

2

，相似比為：

1

3 2

，截面面積與底面面積之比為

1

3 4

；故錯(cuò)；
對(duì)于③，四條，如圖：
平行線中，虛線實(shí)線的距離為2，過(guò)那四個(gè)交點(diǎn)的垂直于平面的四條直線就是所求．
④若正六棱錐底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)相等，
則正六棱錐的側(cè)面構(gòu)成等邊三角形，側(cè)面的六個(gè)頂角都為60度，
∴六個(gè)頂角的和為360度，
這樣一來(lái)，六條側(cè)棱在同一個(gè)平面內(nèi)，
這是不可能的，故錯(cuò)．
其中正確的有①③
故答案為①③．

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、棱錐的結(jié)構(gòu)特征、異面直線的判定，是基礎(chǔ)題．