Question

已知函數在是增函數,在為減函數.

（I）求、的表達式；

（II）求證:當時,方程有唯一解；

(III）當時,若在∈內恒成立,求的取值范圍.

Answer 1

解：（I） 

依題意在上恒成立

即 在上恒成立

∵　 （）     ∴          ①    　　    

又

依題意在時恒成立, 即,恒成立

∵　（）　　 ∴　       　  ②       　    

由①、②得　　          

∴　.            

（II）由(1)可知,方程,

設, 

令,并由得  解得

令由   　   

列表分析:

	-		+
	遞減		遞增

知在處有一個最小值0　       

當時,＞0

∴　在(0,+¥)上只有一個解

即當x＞0時,方程有唯一解.　　     

（III）設  則                     

∴　在上為減函數           

∴　   又    

所以　為所求范圍.