Question

已知f(x)=[sin(x+

θ

2

)+

3

cos(x+

θ

2

)]•cos(x+

θ

2

)．若θ∈[0，π]且f（x）為偶函數，求θ的值．

Answer 1

分析：通過多項式展開，利用二倍角已以及兩角和的正弦函數，化簡函數的表達式，通過偶函數的定義求出θ的值．

解答：解：f(x)=[sin(x+

θ

2

)+

3

cos(x+

θ

2

)]•cos(x+

θ

2

)
=sin（x+

θ

2

）•cos（x+

θ

2

）+

3

cos²（x+

θ

2

）
=

1

2

sin(2x+θ)+

3

2

[1+cos(2x+θ)]
=sin（2x+θ+

π

3

）+

3

2

因為f（x）為偶函數，所以f（-x）=f（x），
即sin(-2x+θ+

π

3

)=sin(2x+θ+

π

3

)，得sin2x•cos(θ+

π

3

)=0，
所以cos(θ+

π

3

)=0．又θ∈[0，π]，所以θ=

π

6

．

點評：本題考查三角函數的化簡求值，二倍角以及兩角和的正弦函數的應用，考查計算能力．