Question

設（a∈R）．
（1）若x=1是函數f（x）的極大值點，求a的取值范圍；
（2）當時，若在上至少存在一點x，使f（x）＞e-1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數進行求導，討論a的取值，使x=1是函數f（x）的極大值點，求出變量a的范圍．
（2）要在上至少存在一點x，使f（x）＞e-1成立，等價于當時，f（x）_max＞e-1，根據第一問可求出
f（x）_max，利用導數求閉區間上函數的最值即可．
解答：解：
當a-1≤0時，

當0＜a-1＜1時，

當a-1=1時，

當a-1＞1時，

綜上所述，當a-1＞1，即a＞2時，x=1是函數f（x）的極大值點．（7分）
（2）在上至少存在一點x，使f（x）＞e-1成立，等價于
當時，f（x）_max＞e-1．（9分）
由（1）知，①當，即時，
函數f（x）在上遞減，在[1，e]上遞增，∴．
由，解得．
由，解得a＜1∵，∴?a＜1；（12分）
②當a≥1+e，即a-1≥e時，函數f（x）在上遞增，在[1，e]上遞減，f（x）_max=f（1）=2-a≤1-e＜e-1．
綜上所述，當a＜1時，在上至少存在一點x，使f（x）＞e-1成立．（14分）
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及存在性問題，屬于中檔題．