Question

從某學校高三級共1000名男生中隨機抽取100名樣本測量身高．據測量，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…第八組[190，195]．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．
（Ⅰ）估計這所學校高三級全體男生身高在165cm以下（不含165cm）的人數；
（Ⅱ）在這100名樣本中，已知第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．求頻率分布直方圖中第六組的小矩形的高．

Answer 1

分析：（I）根據已知中的頻率分布直方圖，我們分別求出165cm以上各組矩形的高度和，乘以組距即可得到高在165cm以下（不含165cm）的頻率，再乘以樣本容量即可得到高在165cm以下（不含165cm）的人數；
（Ⅱ）先求出其他各組的頻率，進而得到第六組、第七組的頻率，從而計算出其人數，進而得到結論．

解答：解：（Ⅰ）第一組、第八組的頻率為P₁=P₈=0.008×5=0.04…（3分）
第二組的頻率P₂=0.016×5=0.08…（6分）
∴可估計這所學校高三級全體男生身高在165 cm以下（不含165cm）的人數為：
1000（0.04+0.08）=120人…（7分）
（Ⅱ）第三組、第四組、第五組頻率分別為P₃=P₄=0.04×5=0.2，P₅=0.06×5=0.3
∴第六組與第七組的頻率和為：1-（P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₈）=0.14．
∴100名樣本中，第六組與第七組人數的和為0.14×100=14，
第八組0.04×100=4…（9分）
設第六組，第七組的人數分別為A₆，A₇，
則2A₇=A₆+4
又A₆+A₇=14
∴A₆=8⇒P₆=

8

100

=0.08；
∴與第二組等高，分布直方圖中第六組的小矩形的高為：0.016…（14分）

點評：本題考查的知識點是頻率分布直方圖，用樣本的頻率分布估計總體分布，其中頻率=矩形的高×組距=頻數÷樣本容量，是解答本題的關鍵．