Question

設m、n，是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，給出下列四個命題，
①若m⊥n，m⊥α，n?α，則n∥α；    
②若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，則m∥α；          
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β．
其中正確命題的序號是

①④

（把所有正確命題的序號都寫上）．

Answer 1

分析：根據同垂直于一條直線的直線和平面的位置關系，得到①正確；根據直線與平面垂直的定義與性質，得到②不正確；根據同垂直于一個平面的直線和平面的位置關系，得到③不正確；根據線面垂直和面面垂直的判定與性質，得到④正確．由此得到正確答案．

解答：解：對于①，若m⊥n，m⊥α，即n、α同時與直線m垂直，
可得n?α或n∥α，但是已知條件中有n?α，所以n∥α成立，故①正確；
對于②，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，n可在與直線m垂直的平面γ內轉動，
必定存在直線m的位置，使它平面α、β都不垂直，故“n⊥α或n⊥β”不成立，故②錯誤；
對于③，若m⊥β，α⊥β，即m、α同時與平面β垂直，則m∥α或m?α，不一定有m∥α，故③錯誤；
對于④，若m⊥α，則直線m是平面α的法線，同理n⊥β，直線n是平面β的法線，
而m⊥n，說明平面α的法線與β的法線互相垂直，因此“α⊥β”成立，故④正確．
故答案為①④

點評：本題以命題真假的判斷為載體，著重考查了空間直線與平面的位置關系和平面與平面的位置關系等知識點，屬于中檔題．