Question

過直線y=x上的一點P作圓（x-5）²+（y-1）²=2的兩條切線l₁，l₂，A，B為切點，當直線l₁，l₂關于直線y=x對稱時，則∠APB=（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

Answer 1

【答案】分析：判斷圓心與直線的關系，在直線上求出特殊點，P的方程，利用切線長、半徑以及該點與圓形連線構成直角三角形，求出∠APB的值．
解答：解：顯然圓心（5，1）不在直線y=x上．
由對稱性可知，只有直線y=x上的特殊點，這個點與圓心連線垂直于直線y=x，從這點做切線才能關于直線y=x對稱．
所以該點與圓形連線所在的直線方程為：y-5=-（x-1）即 y=6-x
與 y=x聯立可求出該點坐標為（3，3），
所以該點到圓心的距離為（（5-3）²+（1-3）²=2
切線長、半徑以及該點與圓形連線構成直角三角形，又知圓的半徑為．
所以夾角的一半的正弦值為=
所以夾角∠APB=60°
故選C．
點評：本題是中檔題，考查直線與圓的位置關系，直線與圓相切的關系的應用，考查計算能力，常考題型．