Question

已知等差數列{a_n}中，公差d＞0，其前n項和為S_n，且滿足a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設（n∈N^*），數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：；
（3）是否存在常數c（c≠0），使得數列為等差數列？若存在，試求出c；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意，由等差數列的性質，有a₁+a₄=a₂+a₃=14，與a₂•a₃=45聯立，計算可得數列{a_n}的通項公式；
（2）根據題意，將數列{a_n}的通項公式代入b_n可得b_n的通項公式，進而運算消項求和法，計算T_n，可以得證；
（3）首先計算Sn，代入數列，可得其通項公式，運用等差中項的性質分析，可得答案．
解答：（1）解：∵等差數列{a_n}中，公差d＞0，
∴（4分）
（2）∵
∴，（6分）
＞0
∴T_n+1＞T_n
∴故（8分）
（3），=，
由2c₂=c₁+c₃得，化簡得2c²+c=0，c≠0，
∴
反之，令，即得c_n=2n，顯然數列{c_n}為等差數列，
∴當且僅當時，數列{c_n}為等差數列．（12分）
點評：本題考查等差數列的通項公式的運用，注意結合等差數列的性質分析，可以減少運算量，降低難度．