Question

設m個不全相等的正數a₁，a₂，…，a_m（m≥7）依次圍成一個圓圈，
（Ⅰ）若m=2009，且a₁，a₂，…，a₁₀₀₅是公差為d的等差數列，而a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，…，a₁₀₀₆是公比為q=d的等比數列；數列a₁，a₂，…，a_m的前n項和S_n（n≤m）滿足：S₃=15，S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁，求通項a_n（n≤m）；
（Ⅱ）若每個數a_n（n≤m）是其左右相鄰兩數平方的等比中項，求證：a₁+…+a₆+a₇²+…+a_m²＞ma₁a₂a_m．

Answer 1

（I）因a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，a₁₀₀₆是公比為d的等比數列，
從而a₂₀₀₉=a₁d，a₂₀₀₈=a₁d²，
由S₂₀₀₉=S₂₀₀₇+12a₁得a₂₀₀₈+a₂₀₀₉=12a₁，
解得d=3或d=-4（舍去）．
∴d=3，
又S₃=3a₁+3d=15．解得a₁=2
從而當n≤1005時，a_n=a₁+（n-1）d=2+3（n-1）=3n-1
當1006≤n≤2009時，由a₁，a₂₀₀₉，a₂₀₀₈，a₁₀₀₆是公比為d的等比數列
得a_n=a₁d^{2009-（n-1）}=a₁d^2010-n（1006≤n≤2009）
因此an=

3n-1，n≤1005 2•32009-n，1006≤n≤2009

（II）由題意a_n²=a_n-1²a_n+1²（1＜n＜m），a_m²₌a_m-1²a₁²，a₁²=a_m²a₂²
得

an=an-1an+1(1＜n＜m)，① am=am-1a1② a1=ama2③

有①得a3=

a2

a1

，a4=

1

a1

，a5=

1

a2

，a6=

a1

a2

④
由①，②，③得a₁a₂a_n=（a₁a₂a_n）²，
故a₁a₂a_n=1．⑤
又ar+3=

ar+2

ar+1

=

ar+1

ar

•

1

ar+1

=

1

ar

(1≤r≤m-3)，
故有ar+6=

1

ar+3

=ar(1≤r≤m-6)．⑥
下面反證法證明：m=6k
若不然，設m=6k+p，其中1≤p≤5
若取p=1即m=6k+1，則由⑥得a_m=a_6k+1=a₁，
而由③得am=

a1

a2

，故a1=

a1

a2

，
得a₂=1，由②得am-1=

am

a1

，從而a6=a6k=am-1，
而a6=

a1

a2

，故a1=a2=1，由④及⑥可推得a_n=1（1≤n≤m）與題設矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得a_n=1（1≤n≤m）與題設矛盾，
因此m=6k為6的倍數
由均值不等式得a1+a2+a3++a6=(a1+

1

a1

)+(a2+

1

a2

)+(

a2

a1

+

a1

a2

)≥6
由上面三組數內必有一組不相等（否則a₁=a₂=a₃=1，
從而a₄=a₅═a_m=1與題設矛盾），故等號不成立，
從而a₁+a₂+a₃++a₆＞6又m=6k，由④和⑥得
a₇²++a_m²=（a₇²++a₁₂²）++（a_6k-5²++a_6k²）
=（k-1）（a₁²++a₆²）
=(k-1)(

a

21

+

1

a 21

+

a

22

+

1

a 22

+

a

23

+

1

a 23

)≥6(k-1)
因此由⑤得a₁+a₂+a₃++a₆+a₇²++a_m²＞6+6（k-1）=6k=m=ma₁a₂a₃a_m