Question

已知雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，兩焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，過(guò)F₂作x軸的垂線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于A，B兩點(diǎn)，且△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，則此雙曲線(xiàn)的離心率為

1+ 5

2

．

Answer 1

分析：欲求雙曲線(xiàn)的離心率，只須建立a，c的關(guān)系式即可，由雙曲線(xiàn)的定義得：|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a，從而△ABF₁周長(zhǎng)為：2|AB|+4a，利用△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，得到△ABF₁面積為：S=

1

2

（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a，又S=

1

2

|AB|×2c，由面積相等即可建立a，c的關(guān)系，即可求得此雙曲線(xiàn)的離心率．

解答：解：由雙曲線(xiàn)的定義得：
|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₁|-|BF₂|=2a兩式相加得：|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
又在雙曲線(xiàn)中，|AB|=2×

b2

a

，
∴△ABF₁周長(zhǎng)為：|AF₁|+|BF₁|+|AB|=2|AB|+4a=4×

b2

a

+4a，
∵△ABF₁內(nèi)切圓的半徑為a，
∴△ABF₁面積為：S=

1

2

（|AF₁|+|BF₁|+|AB|）×a
又S=

1

2

|AB|×2c，
∴

1

2

（4×

b2

a

+4a）×a=

1

2

|AB|×2c
即c²-a²=ac
解得：e=

c

a

=

1+ 5

2

，則此雙曲線(xiàn)的離心率為

1+ 5

2

．
故答案為：

1+ 5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的離心率和三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)，在解題過(guò)程中要注意隱含條件的挖掘，注意應(yīng)用三角形面積的不同計(jì)算方法建立關(guān)于a，b，c的等式求離心率．