Question

已知橢圓Γ的方程為，點P的坐標為(-a，b)，
(Ⅰ)若直角坐標平面上的點M、A(0，-b)、B(a，0)滿足，求點M的坐標；
(Ⅱ)設直線l₁：y=k₁x+p交橢圓Γ于C、D兩點，交直線l₂：y=k₂x于點E。若k₁·k₂=，證明：E為CD的中點；
(Ⅲ)對于橢圓Γ上的點Q(acosθ，bsinθ)(0＜θ＜π)，如果橢圓Γ上存在不同的兩點P₁、P₂使得
，寫出求作點P₁、P₂的步驟，并求出使P₁、P₂存在的θ的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)解：設點M的坐標為(x₀，y₀)，
∵，
∴，
于是，點M的坐標為。
(Ⅱ)證明：由得(b²+a²k₁²)x²+2a²k₁px+a²p²-a²b²=0，
∴CD中點坐標為，
∵，
∴，
由得l₁與l₂的交點E的坐標為，
∴l₁與l₂的交點E為CD的中點．
(Ⅲ)解：第一步：取PQ的中點；
第二步：過點R作斜率為的直線交Γ于P₁、P₂兩點，
由(Ⅱ)可知，R是P₁P₂的中點，則PP₁QP₂是平行四邊形，
有，要使P₁、P₂存在，則點必須在橢圓內，
將代入橢圓Γ的方程，得，
當且僅當時，點R在橢圓內，
整理得(1+sinθ)²+(cosθ-1)²＜4，即2sinθ-2cosθ＜1，
亦即，
又0＜θ＜π，
∴。