Question

在一個給定的正（2n+1）邊形的頂點中隨機地選取三個不同的頂點，任何一種選法的可能性是相等的，則正多邊形的中心位于所選三個點構成的三角形內部的概率為

n+1

4n-2

．

Answer 1

分析：從（2n+1）邊形的頂點中隨機地選取三個不同的頂點中取3個的所有不同的取法有C_2n+1³，每種取法等可能出現，屬于古典概率，正多邊形的中心位于所選三個點構成的三角形內部，若第一個點取的就是點2n+1，對于第二個點分類考慮：第二個點取取的是點1，第二個點取的是點2…第二個點取的是m，第二個點取的是點n，再考慮第三個點的所有取法，利用古典概率的公式可求．

解答：解：不妨設以時鐘12點方向的頂點為點2n+1，順時針方向的下一個點為點1，則以時鐘12點和6點連線為軸，左右兩邊各有n個點．
多邊形中心位于三角形內部的三角形個數a：
假設第一個點取的就是點2n+1，則剩下的兩點必然在軸線的一左一右．
對于第二個點取的是點1，
對于第二個點取的是點2，第三個點能取點n+1、點n+2，有2種
…
對于第二個點取的是點m，第三個點能取點n+1、點n+2…點n+m，有m種
…
對于第二個點取的是點n，第三個點能取點n+1，點n+2…點2n，有n種
一共1+2+…n=

1

2

（n+1）n種
如果第二個點取的是點n+1到點2n，可視為上述情況中的第三個點．
所以a=

1

2

（n+1）n×

1

3

（2n+1）=

1

6

（2n+1）（n+1）n
一共可構成三角形個數b=

1

3

（2n+1）n（2n-1）
∴P=

a

b

=

1 6 n(n+1)(2n+1)

1 3 n(2n-1)(2n+1)

=

n+1

4n-2

故答案為：

n+1

4n-2

點評：本題主要考查了等可能事件的概率公式的應用，解題的關鍵是求解基本事件的個數時要合理的分類，靈活利用組合數，本題有一定的難度．