Question

已知函數f(x)=loga

x+1

x-1

（a＞0，a≠1）．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷函數f（x）在（1，+∞）上的單調性，并給出證明；
（3）當x∈（n，a-2）時，函數f（x）的值域是（1，+∞），求實數a與n的值．

Answer 1

分析：（1）先求函數的定義域看是否關于原點對稱，然后在用奇偶函數的定義判斷，要注意到代入-x時，真數是原來的倒數，這樣就不難并判斷奇偶性．
（2）用單調性的定義進行證明，首先在所給的區間上任取兩個自變量看真數的大小關系，然后在根據底的不同判斷函數單調性．
（3）要根據第二問的結論，進行分類討論，解出兩種情況下的實數a與n的值．

解答：解：（1）由

x+1

x-1

＞0得函數f（x）的定義域為（1，+∞）∪（-∞，-1），…（2分）
又f(-x)=loga

-x+1

-x-1

=loga

x-1

x+1

=loga(

x+1

x-1

)-1=-loga

x+1

x-1

=-f(x)
所以f（x）為奇函數．  …（4分）
（2）由（1）及題設知：f(x)=loga

x+1

x-1

，設t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，
∴當x₁＞x₂＞1時，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∴t₁＜t₂．…（6分）
當a＞1時，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴當a＞1時，f（x）在（1，+∞）上是減函數．
同理當0＜a＜1時，f（x）在（1，+∞）上是增函數．…（8分）
（3）①當n＜a-2≤-1時，有0＜a＜1．
由（2）可知：f（x）在（n，a-2）為增函數，…（9分）
由其值域為（1，+∞）知

loga 1+n n-1 =1 a-2=-1

，無解  …（11分）
②當1≤n＜a-2時，有a＞3．由（2）知：f（x）在（n，a-2）為減函數，
由其值域為（1，+∞）知

n=1 loga a-1 a-3 =1

…（13分）
得a=2+

3

，n=1．…（14分）

點評：本題主要考查了對數型函數的奇偶性和單調性的判斷，要先看真數部分在看整體的先后順序進行，還要注意對底數的討論，總體來說本題很基礎、很典型，是不得不練的好題．