Question

已知函數f（x）=ax²-lnx（a∈R），
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）求出f（1）及f′（1）的值，代入點斜式方程即可得到答案；
（2）確定函數的定義域，求導函數．利用導數的正負，分類討論，即可求得函數的單調區間，進而得到函數的極值．

解答：解：函數f（x）的定義域為（0，+∞）…（1分）
（1）當a=2時　　　f（x）=2x²-lnxf′(x)=4x-

1

x

…（3分）
∴f（1）=2，f'（1）=3
∴曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y-2=3（x-1）
即3x-y-1=0…（6分）
（2）f′(x)=

2ax2-1

x

，x＞0…（7分）
①當a≤0時，f'（x）＜0，
則函數f（x）為（0，+∞）上的減函數，∴f（x）無極值…（9分）
②當a＞0時，由f'（x）=0解得x=

1 2a

又當x∈(0，

1 2a

)時，f'（x）＜0
當x∈(

1 2a

，+∞)時，f'（x）＞0…（11分）
∴f（x）在x=

1 2a

處取得極小值，且極小值為f(

1 2a

)=

1

2

+

1

2

ln2a…（12分）
綜上，當a≤0時，f（x）無極值
當a＞0時，f（x）在x=

1 2a

處取得極小值

1

2

+

1

2

ln2a，無極大值…（13分）

點評：本題考查導數的幾何意義，考查函數的單調區間，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．